环形温度场对于旋转圆锯片临界转速的影响

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肖苏伟1,2,3， 曹建华1,2， 范博1,2， 粟鑫1,2， 吴思浩1,2， 邓祥丰1,2

【作者机构】        1中国热带农业科学院橡胶研究所； 2国家重要热带作物工程技术研究中心机械分中心； 3海南省高性能天然橡胶材料工程重点实验室
【来    源】        《林产工业》 2025年第5期 P30-38

圆锯片是重要的林业生产工具，其临界转速会直接影响林木锯割精度和安全生产。圆锯片在高速切削过程中，会产生环形分布的温度场，促使其产生热应变，进而改变临界转速。在绝对节点坐标法工作框架内，提出了含有温度及温度变化梯度的新型环扇热力耦合单元。利用该单元根据虚功原理，建立了考虑环形温度场的圆锯片非线性动力学微分方程，进而推导了圆锯片的临界转速方程,并分析了环形温度场对临界转速的影响。研究结果可为圆锯片的安全使用提供参考。

关键词：环形温度场； 绝对节点坐标法； 高速旋转； 临界转速； 绝对节点坐标法

[size=1em]木材因其固碳特性越来越受到关注，木质复合室外材也得到了大量应用[1-3]，圆锯片是木材加工的重要工具。圆锯片由于径厚比较大，容易在外载荷作用下产生失稳[4]。圆锯片的失稳机制有两种,一种是外部载荷超过了材料的抵抗极限致使圆锯片产生横向屈曲因而产生弯曲失稳；另一种是圆锯片旋转超过其自身的临界转速时，在非常小的横向外力作用下，引起大幅值的谐波形横向摆动因而产生临界转速失稳[5-7]。圆锯片的临界转速失稳一般发生在弯曲失稳之前，因此临界转速成为学者们的研究重点[8]。

[size=1em]Dugdale[9]对木工电锯的振动特性进行研究时发现，圆锯片在临界转速状态存在失稳情况，并提出了圆锯片临界转速失稳的概念。Schajer等[10]建立了圆锯片的固有频率和临界转速之间的数学模型。邸浩等[11]分析了在离心力作用下，圆锯片的固有频率变化。Li等[12]系统的分析了圆锯片的振动频率和应力分布对其动态稳定性的影响。王芳等[13]基于正交试验，研究了转速对圆锯片在锯切过程中的动态稳定特性的影响。在大部分研究中，除了周向0阶的模态不存在临界转速，其余模态都具有对应临界转速。可见，圆锯片的固有频率对于临界转速具有重要的影响。圆锯片在高速切削过程中会产生大量的热，使锯片产生环形分布变化的温度场，使圆锯片产生热应变，改变圆锯片的动态平衡位置和振动频率，进而改变其临界转速。母德强等[14-16]研究了旋转和高温耦合作用对圆锯片临界转速和动态稳定性的影响。Mote等[17-19]研究了圆锯片温度场变化对圆锯片稳定性的影响，发现圆锯片在工作过程中会形成一个外高内低的环温度场，而适当增加内部温度可以减少圆锯片振动。安源等[20]分析了温度与离心力载荷对于圆锯片横向振动的影响。程卫华等[21]为解决沙柳平茬作业中，功耗大、刀具发热严重、茬口灼伤及撕皮撕裂等问题，基于Ls-Dyna对锯切过程进行了模拟，并对圆锯片工作转速进行了优化。Shabana[22]提出了不含随动坐标系的绝对节点坐标法(Absolute Nodal Coordinate Formulation，ANCF）的经典工作框架，并在此基础上建立了动力学方程中质量矩阵为常数的矩阵，且不含有离心力项和Coriolis力项。魏永[23]在经典工作框架下，推导了旋转空心圆盘的广义离心力，并根据虚功原理建立了经典边界条件下的高速圆锯片的动力学方程，分析了高速圆锯片的振动特性。范博等[24-26]在经典框架基础上，引入了旋转随动坐标系，结合弹性基柔性环模型，考虑到高速旋转所产生的惯性偏转效应和离心刚度，分析了子午线轮胎的振动特性。

[size=1em]本文基于含有旋转随动坐标系的ANCF工作框架，考虑环形温度场引起的热应变对圆锯片的影响，建立了高速旋转柔性圆锯片模型。其中，利用空间环扇单元对高速柔性圆锯片模型进行离散，并引入了温度场函数对圆锯片的环形温度场进行描述。根据D'Alembert原理，建立了高速柔性圆锯片的非线性动力学微分方程和线性化振动方程。根据Doppler效应，推导了振动频率与行波频率之间的关系，求解了圆锯片各阶频率对应的临界转速，并详细分析了环形温度场分布对圆锯片第一阶临界转速的影响，以期为圆锯片的安全使用提供参考。

1 高速旋转柔性圆锯片模型的场函数

[size=1em]如图1所示，令高速旋转柔性圆锯片模型的平均半径为R，径向厚度为a，旋转角速度为Ω。按周向-径向网格，将该模型分为m×n个环扇热力耦合单元，其中m和n分别为周向和径向单元数。在单元Eij的中性面上有四个节点，其初始节点被定义为，单元径向边缘长度为aj，周向边缘和的长度分别为bj和bj+1。圆锯片模型的内缘由弹簧组进行约束，其中1个弹簧组由径向抗拉压弹簧kξ ，周向抗拉压弹簧kη ，横线抗拉压弹簧kz，以及2个抗弯弹簧kθ和kϑ组成。

[size=0.8em]图1 圆锯片模型和环扇单元的位置场
Fig.1 The position field function of circular saw blade model and ASTCE

[size=1em]笛卡尔坐标系O-X˜YZ˜˜和O-XYZ分别为模型的固定坐标系和随动坐标系，它们的原点O为锯片圆心。正交曲线坐标系为单元坐标系，ξ ，和z分别为单元径向、周向和法向的无量纲坐标。模型的内缘均布弹簧组，且在随动坐标系O-XYZ中保持静止，用于模拟圆锯片的边界条件。圆锯片的动态过程可以被分解为模型随着O-XYZ进行刚性旋转以及在O-XYZ内发生柔性变形。在随动坐标系O-XYZ中，单元Eij位置场函数和温 度场函数可以用无量纲坐标ξ和分别表示为：

[size=1em]（1）

[size=1em]（2）

[size=1em]式中：T为温度场函数。

[size=1em]利用双三阶Hermite插值函数可以得单元的位置场函数R和温度场函数T分别为：

[size=1em]式中：S (ξ ,η)为单元的位置场形函数；q ij ( t)为单元位置场的广义位置坐标；S T (ξ ,η)为单元的位置场形函数；T ij ( t)为单元位置场的广义温度坐标；t为时间变量。

[size=1em]形函数 S(ξ ,η)和ST (ξ ,η)可以被详细地表示为：

[size=1em]式中：I3× 3为3阶单位矩阵，Sk （k=1,2...6）可以详细的 表示为：

[size=1em]单元的广义位置坐标 qij ( t)可以写为：

[size=1em]式中： Nij为节点Nij的广义位置坐标，它是由一个坐标向量Rij，两个分别沿径向和周向的节点切向量 ijξR和 ，以及一个混合切向量 组成。为了表示方便，上标O表示初始值，式（7）和式（8）的初始值可以被写为

[size=1em]式中：φ =2π/n，。

[size=1em]单元的广义温度坐标Tij可以写为：

[size=1em]式中：NTij为节点Nij的广义温度坐标，它是由一个温度值Tij，两个分别沿径向和周向的温度场变化梯度和 ，以及一个混合变化梯度组成。

[size=1em]在圆锯片工作时，锯片上会形成与圆锯片中心同心的环形温度场，可以被看做一维圆环的稳态导热问题。圆锯片的内径为r1 =r-a /2，外径为r2 =r+a/ 2，内外径的温度分别维持在T1和T2，其导热系数为常数，且无内热源，则：

[size=1em]式中：R表示局部半径，根据几何关系可知R =r1 + (i - 1+ ξ)a/n 。

[size=1em]根据式(14)可以得出节点Nij的广义温度坐标Tij中元素为：

[size=1em]设圆锯片模型在随动坐标系O-XYZ中全局广义位置坐标和全局广义温度坐标分别为q ( t )和T，则：

[size=1em]式中：Bij为位置坐标的Boole矩阵；BTij为温度坐标的Boole矩阵。

[size=1em]圆锯片模型绕原点匀速逆时针旋转φ （φ =Ωt）弧度后，在O-中，全局广义位置坐标 ( t)可以写为：

[size=1em]式中：

[size=1em]在O-中，单元中性面的场函数可以表示为：

[size=1em]基于薄壳理论，单元的位置场函数：

[size=1em]式中：是法向量，可以写为：

[size=1em]根据式(20)，在O-X˜YZ˜˜中，中性面的形梯度方向可以表示为：

[size=1em]式中：下标ϑ=ξ或表示矩阵或向量对坐标ξ或求一阶导数。

[size=1em]根据式(20)，中性面位置场函数对时间的一阶导数和二阶导数可以表示为：

[size=1em]式中：=dΞdφ。

2 线性振动方程2.1 广义弹性力和广义刚度矩阵

[size=1em]单元的弹性势能可以被表示为：

[size=1em]式中：Vij为单元体积可以表示为。

[size=1em]式(26)中， E为材料的参数矩阵可以表示为：

[size=1em]式中：E为杨氏模量是关于温度的函数；为泊松比；C为消除弯曲初始构型中残余应力的常数矩阵[24]；可以被详细的写为：

[size=1em]式 中：系 数 C kl（ k =1， 2, 3和l =1， 2,3）为 矩 阵的对应元素。

[size=1em]式(26)中，应变ε和曲率k可以分别写为：

[size=1em]根据式(23)可得，圆锯片模型的非线性广义弹性力列矩阵和非线性广义刚度矩阵可以分别表示为：

2.2 广义惯性力

[size=1em]圆锯片模型的惯性力做功可以表示为：

[size=1em]将式(23)和(25)代入式(33)，并令广义质量矩阵为：

[size=1em]可得圆锯片模型的广义惯性力列矩阵：

2.3 弹簧边界的广义弹性力和广义刚度矩阵

[size=1em]圆锯片模型内缘上的弹簧组的应变能密度函数可以被写为：

[size=1em]式中：u，v和w为模型内缘边界上任意一点沿初始径向，周向和法向的位移；θ和φ为模型内缘边界上任意一点的径向向量在面内和面外的2个转角。

[size=1em]根据前期研究[27]，式(36)可以另写为：

[size=1em]弹簧边界的线性广义弹性力列矩阵和常数广义刚度矩阵可以表示为：

2.4 热效应的广义弹性力和广义刚度矩阵

[size=1em]对于各向同性圆锯片，锯片上温度场函数发生变化时，其热应变可以表示为：

[size=1em]（40）

[size=1em]式中： T0为初始温度。

[size=1em]单元的热载荷做功可表示为：

[size=1em]根据式(41)可得，热效应下圆锯片模型的广义弹性力列矩阵和非线性广义刚度矩阵可以分别表示为：

2.5 非线性动力学微分方程和线性化振动方程

[size=1em]无外力的情况下，根据达朗贝尔原理可得，圆锯片模型的非线性动力学微分方程为：

[size=1em]将式(35)代入式(44)，可得圆锯片模型的非线性动力学微分方程为：

[size=1em]令 q E ， ,和T分别为圆锯片模型平衡状态的广义位置坐标，广义速度，广义加速度和温度场函数。平衡条件为 = 0, = 0，且温度场函数TE为已知量，则圆锯片模型的平衡方程可以被写为：

[size=1em]通过式(46)可以计算出圆锯片模型平衡状态的广义位置坐标Eq 。

[size=1em]令平衡状态下的小扰动量δq ，在平衡位置的基础上，可以将式(43)详细地推导为：

[size=1em]将平衡条件 = 0和 = 0代入式(45)，可得：

[size=1em]根据式(32)、(39)以及泰勒一阶展开式可得：

[size=1em]将式(47)代入式(46)可得：

[size=1em]根据式(46)可知式(50)的划线部分的值为0，故：

[size=1em]由式(16)和(17)可得：

[size=1em]式中：Ξφ =∂Ξ /∂φ。

[size=1em]设 δq=Ae jω t（ j为虚数单位）则式(52)可以写为：

[size=1em]式中：，，，A 是特征向量。式(53)有非零解的充要条件为：

[size=1em]根据文献[28]，在固定坐标系O-X˜YZ˜˜中，前、后行波角频率、与的关系可以写为

[size=1em]（55）

[size=1em]当前行波角频率第一次为0 rad/s，此时对应的转速为圆锯片的临界转速。

3 验证分析

[size=1em]为了验证圆锯片模型的有效性，按文献[29]参数对模型进行设定，如表1所示。

[size=0.8em]表1 圆锯片模型的参数
Tab.1 The parameters of the circular saw blade model

[size=1em]为了与文献[29]中算例的内缘固定外缘自由的边界条件相互应对，内缘上单位长度上的约束弹簧刚度被设定为 kξ = kη = k z = kθ = kϑ = 1015Pa，用1015近似的代替+∞ [24]。

[size=1em]如表2所示，在静止状态且不考虑温度场的情况下，通过本文的圆锯片模型所计算出的前5阶固有频率与文献[29]结果之间的相对误差都低于2%。如表3所示，当圆锯片转速Ω=250 πrad/s（3 000 rpm）时，通过本文的圆锯片模型所计算出的前5阶前行波频率与文献[26]的理论结果相似，且与该试验结果的相对误差（除去（0,1）阶模态）低于7%，验证了本文提出模型的有效性。

[size=0.8em]表2 静止状态下圆锯片的模态分析
Tab.2 Modal analysis of circular saw blades in static state(f=ω /2π )

[size=0.8em]表3 旋转状态下圆锯片的前行波频率
Tab.3 Front traveling wave frequency of circular saw blade in rotating state（Ω=250πrad/s，f=ω/2π ）

4 算例分析

[size=1em]按表4参数对圆锯片模型进行设定。

[size=0.8em]表4 圆锯片模型的参数
Tab.4 The parameters of the circular saw blade model

[size=1em]令圆锯片的内径温度始终为初始温度25 ℃，即当外径温度被分别设定为25、45、65 ℃和85 ℃时，旋转速度对圆锯片（0,0）、（0,1）、（0,2）和（0,3）阶模态对应的前行波角频率的影响如图2所示。随着转速的逐渐增加，（0,0）阶模态对应的前行波角频率逐渐增加，（0,1）、（0,2）和（0,3）阶模态对应的前行波角频率呈现类似线性的先增加后减少趋势。当旋转速度为0时，随着外径温度的升高，（0,1）、（0,2）和（0,3）阶模态前行波角频率呈减小的趋势。如图3所示，圆锯片的第一阶临界转速会随着外径温度的升高呈现类似线性的降低。外径温度的升高促使圆锯片更易出现临界转速失稳。

[size=0.8em]图2 不同外径温度下，旋转速度对圆锯片各阶模态对应的前行波角频率的影响
Fig.2 The influence of rotational speed on the forward wave angular frequency corresponding to each mode of circular saw blade under different outer diameter temperatures

[size=0.8em]图3 外径温度对圆锯片的第一阶临界转速的影响
Fig.3 The influence of outer diameter temperature on the first critical speed of circular saw blade

[size=1em]令圆锯片的外径温度为初始温度T2=T0=25 ℃。当内径温度T1被分别设定为25、45、65 ℃和85 ℃时，旋转速度对圆锯片（0,0）、（0,1）、（0,2）和（0,3）阶模态对应的前行波角频率的影响如图4所示。随着转速的逐渐增加，（0,0）阶模态对应的前行波角频率逐渐减少，（0,1）、（0,2）和（0,3）阶模态对应的前行波角频率呈现类似线性的先增加后减少。当旋转速度为0时，随着外径温度的升高，（0,1）、（0,2）和（0,3）阶模态前行波角频率呈增大的趋势。如图5所示，随着内径温度的逐渐增加，圆锯片的第一阶临界转速会呈现类似线性的上升。内径温度的升高可以抑制圆锯片失稳。

[size=0.8em]图4 不同内径温度下，旋转速度对圆锯片各阶模态对应的前行波角频率的影响
Fig.4 The influence of rotational speed on the forward wave angular frequency corresponding to each mode of circular saw blade under different inner diameter temperatures

[size=0.8em]图5 内径温度对圆锯片的第一阶临界转速的影响
Fig.5 The influence of inner diameter temperature on the first critical speed of circular saw blade

5 结论

[size=1em]本文基于ANCF空间环扇单元工作框架下，考虑了环形温度场引起的热应变，建立了高速旋转圆锯片模型。通过与其他文献对比，验证了本文提出高速旋转圆锯片模型的有效性。最后，应用此模型分析了环形温度场变化对圆锯片临界转速的影响，主要得出以下结论：

[size=1em]1）外径温度的升高促使圆锯片更易出现临界转速失稳。圆锯片的外径温度会由于锯切作业而快速增加，为了保持圆锯片的稳定工作和延长其使用寿命，需要密切关注其外径温度的变化，并采取相应的措施来控制温度，如使用冷却液、优化散热结构等。

[size=1em]2）内径温度的升高会抑制圆锯片出现临界转速失稳。需要注意的是，内径温度的升高也可能导致其他问题，如热应力、热膨胀不均匀等，这些都可能对圆锯片的性能和寿命产生负面影响。

[size=1em]参考文献

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[size=1.8em]The Influence of Annular Temperature Field on the Critical Speed of Rotating Circular Saw Blades

[size=1em]XIAO Su-wei1,2,3 CAO Jian-hua1,2 FAN Bo1,2 SU Xin1,2 WU Si-hao1,2 DENG Xiang-feng1,2
(1.Institute of Rubber, Chinese Academy of Tropical Agricultural Sciences, Haikou 571101, Hainan, P.R.China; 2.Mechanical Sub-center of National Important Tropical Crops Engineering Technology Research Center, Haikou 571101, Hainan, P.R.China; 3.Key Laboratory of Materials Engineering for High Performance Natural Rubber, Haikou 571101, Hainan, P.R.China)

[size=1em]Abstract: The circular saw blades were important forestry production tools, and their dynamic stability characteristics directly affected the accuracy and safety of sawing trees.During high-speed cutting, the circular saw blades generated an annular temperature field, which promoted thermal strain, thereby changing the critical speed.Within the working framework of Absolute Nodal Coordinate Formula (ANCF), in this paper, the novel Annulus Sector Thermal Coupling Element with temperature and temperature gradient was proposed and used to establish the nonlinear dynamic differential thermal coupling equation of circular saw blades with annular temperature field based on the principle of virtual work.Then, the critical speed equation of the circular saw blade was derived and the influence of material properties and annular temperature field on critical speed was analyzed.The results of this study could provide a reference for the safe use of circular saw blades.

[size=1em]Key words: Annular temperature field; Absolute nodal coordinate formulation; High speed rotation; Critical speed; ANCF

[size=1em]中图分类号：TS664.01；TS396

[size=1em]文献标识码：A

[size=1em]文章编号：1001-5299(2025)05-0030-09

[size=1em]DOI：10.19531/j.issn1001-5299.202505006

[size=1em]基金项目：海南省自然科学基金（323MS074）；中央级公益性科研院所基本科研业务费专项“揭榜挂帅”项目（163002 2022005）；海南省重点研发计划项目（ZDYF2021GXJS009 ）

[size=1em]第一作者：肖苏伟，男，工程师，研究方向为智能农机研发，E-mail: 80096501@qq.com

[size=1em]*通讯作者：范 博，男，博士，助理研究员，研究方向为机械系统动力学，E-mail: 873385257@qq.com

[size=1em]收稿日期：2024-04-30