圆柱立铣刀螺旋槽磨削接触线建模与高效数值解法 游明琳， 刘富毅， 张继 【作者机构

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圆柱立铣刀螺旋槽磨削接触线建模与高效数值解法
游明琳， 刘富毅， 张继

【作者机构】        贵州师范大学机械与电气工程学院
【来    源】        《制造技术与机床》 2026年第1期 pp.183-190

圆柱立铣刀螺旋槽的精密磨削是其制造过程中的关键环节，精确建立磨削接触线模型对提升刀具加工质量与效率具有重要意义。文章针对现有接触线方程通用性不足与数值求解效率低的问题，构建了综合考虑刀具几何参数、砂轮廓形及磨削运动关系的通用接触线数学模型，并提出一种基于多区间二分法的高效数值求解策略。该方法能够稳定求取接触线方程的全部解，有效避免漏根与奇异解问题，且通过多组不同规格刀具的实例验证表明，所建模型能准确表征磨削接触关系，数值算法在计算效率与精度上综合优于传统方法，为高精度刀具数控磨削提供了可靠的理论基础与工艺支持。

关键词：圆柱立铣刀；螺旋槽磨削；接触线方程；数值解法；几何分析

[size=1em]圆柱立铣刀作为现代机械加工中的关键工具，广泛应用于模具制造、航空航天和汽车工业等领域。螺旋槽是立铣刀的核心结构，其几何设计（如螺旋角、槽深、前角等）与制造精度不仅决定了切削过程的平稳性与排屑能力，更对刀具的耐用度及工件表面完整性有着至关重要的影响[1]。螺旋槽的精密磨削是立铣刀制造工艺链中的关键工序，而这一过程的本质是砂轮回转面与刀具毛坯之间通过复杂的相对运动包络形成目标螺旋面的过程。其中，砂轮与工件间的瞬时接触线（又称啮合线）是连接砂轮廓形与最终工件槽形的桥梁，对其进行精确建模与高效求解，是实现加工过程数字仿真、工艺参数优化、砂轮姿态精确标定以及加工误差预测与控制的核心理论基础，对于提升刀具品质与制造效率具有重要意义[2-3]。近年来，国内外学者在螺旋槽磨削接触线方程及其数值解法方面取得了显著进展，然而，由于螺旋槽几何形状复杂，磨削过程涉及空间曲面共轭与运动学耦合，接触线的形态随磨削点位置变化而连续变化，这使得磨削过程中刀具与砂轮的接触线难以精确建模，因此，接触线的精确建模与高效求解一直面临着严峻挑战。

[size=1em]早期研究多基于经典的微分几何与包络理论，建立砂轮与刀具的数学模型，解析求解接触线方程，涉及复杂的非线性方程和微分运算。例如，吴序堂教授[4]系统阐述了基于包络原理的刀具磨削仿真方法，为后续研究奠定了理论基础。JIANG L 等[5]提出了一种基于磨削接触区控制的圆弧形铣刀侧刃磨削轨迹自适应调整算法，但仅针对圆弧形铣刀侧刃的曲率不连续特性。PIVKIN P M 等[6] 针对特定类型的砂轮建立了磨削螺旋面的模型，但其方法在推广至任意廓形砂轮时存在局限性。JEONG J 等[7]强调了接触线方程在优化加工参数中的重要性，但其模型缺乏对多种砂轮形状和安装参数的普适性。WANG S L 等[8]提出了基于几何建模的螺旋槽加工方法，但未考虑复杂接触线的动态变化，其几何方法难以表征动态接触过程。COHEN R 等[9] 通过实验研究了工具轮廓形状对接触线的影响，但缺乏理论模型的支撑。

[size=1em]在数值求解方面，接触线方程通常表现为多解甚至奇异解的特性，这使得高效、稳定地求取其全部解且整理正确解变得困难。LI D W 等[10]提出了一种综合方法，尝试结合解析法和数值法求解接触线方程，但这种解析-数值混合法的适用范围有限。LI Y 等[11] 采用模拟仿真螺旋槽磨削过程，计算匹配约束的砂轮姿态，但计算效率较低且计算成本高，难以满足实际工程中快速迭代的需求。DOGRUSADIK A[12]给出了数值解法在加工仿真中的应用，为接触线方程的求解提供了新思路，但对于如何稳定处理多根和奇异解问题，仍未提出高效通用的解决方案。秦玲等[13]指出，牛顿法、二分法等传统数值方法在求解此类问题时也常需依赖几何判别来裁定解的合理性，易导致收敛速度慢、漏根或稳定性差等问题，往往需要辅以几何判别，进行人工干预，影响了算法的自动化与可靠性，尤其在高精度要求的大规模计算中效率不足。

[size=1em]随着数控磨削技术的快速发展，对螺旋槽加工精度的要求日益提高。接触线方程作为描述刀具与砂轮接触几何关系的关键数学模型，成为优化磨削工艺、提高加工效率的重要理论基础[14]。然而，现有研究多集中于简单几何形状的接触线分析，对于复杂螺旋槽的通用接触线方程研究仍存在不足。在求解方面，缺乏一种能够稳定、高效地求取接触线方程全部数值解，并能自动处理奇异解情况的数值算法。针对上述问题，本文提出一种面向复杂螺旋槽磨削场景的多区间二分法。该方法通过将定义域智能划分为多个子区间并行搜索，并引入相邻解值的连续性约束进行解的自动遴选，旨在从根本上解决传统方法在求解此类复杂方程时存在的漏根、稳定性差和效率低下的问题。最后，通过多组不同规格立铣刀的实例计算、与经典算法的对比分析以及实际加工验证，全面评估所建模型的有效性与所提算法的优越性，为推进高精度、高效率的刀具智能磨削提供坚实的理论支撑与实用的工具方法。本研究对缩短高端刀具研发周期、提升我国精密制造装备的自主创新能力具有重要的理论意义与工程价值。

1 圆柱立铣刀螺旋槽接触线方程

[size=1em]在整体立铣刀磨削加工（又称开槽加工）中，砂轮回转面与刀具螺旋槽之间理论上存在一条空间接触线，当接触线绕刀具轴线作与螺旋槽面相同的螺旋运动时，得到的是螺旋槽的螺旋面[15]。反之，当接触线绕砂轮轴线作回转运动时，得到的是砂轮的回转面。

[size=1em]在实际开槽过程中，通过正确选择满足磨削圆柱立铣刀关键参数所需的砂轮形状及其安装参数，结合数控工具磨床的结构及运动形式，调整好砂轮与铣刀毛坯的相对位置关系后，砂轮绕自身轴线高速回转，设定砂轮角速度ωG 作切削（磨削）运动；设刀具工件绕自身轴线转动时的角速度为ωT，轴向进给速度为v，即刀具工件作参数(ωT,v)的螺旋运动，铣刀毛坯与砂轮的相对运动即可由砂轮磨削加工出铣刀螺旋槽及其他几何特征，如图1所示。

[size=0.8em]图1 圆柱立铣刀开槽磨削加工
Fig. 1 Groove grinding process of cylindrical end mill

1.1 坐标系定义

[size=1em]为了分析砂轮与刀具工件的相对运动关系，建立刀具工件坐标系T(Oxyz)和砂轮坐标系G(O'XYZ)。刀具工件圆柱底面圆心O为刀具工件坐标系原点，坐标轴沿x、y、z 方向的矢量可以用单位矢量i、j、k 进行表示。砂轮前端面圆心O'为砂轮坐标系原点，坐标轴沿X、Y、Z 方向的矢量可以用单位矢量i'、j'、k'进行表示。如图2所示，两坐标系原点沿x 轴方向的中心距为da，沿y 轴方向的偏心距为de，沿z 轴方向的端前距离为df，砂轮轴线和刀具轴线间的夹角为安装角Σ。

[size=0.8em]图2 成形砂轮加工螺旋槽的安装位姿关系
Fig. 2 Installation position and orientation relationship of forming wheel for machining helical groove

[size=1em]在砂轮回转面和工件螺旋面上的接触点处有公共的法线矢量n，根据共轭条件，接触线应满足的基本条件为接触点在此处的相对运动速度V 与公共的法线n 垂直，即有V·n=0[16]。

[size=1em]（1）当已知砂轮的截形，需要求解刀具工件螺旋槽截形时，设刀具工件坐标原点到接触线某点M 的矢量为r，螺旋槽的螺旋参数为p，可以根据矢量回转公式，得到砂轮回转面的表达式并求得它上面任一点的法线矢量n，此时砂轮回转面绕自身轴线做旋转运动，则回转面上的接触条件式为

[size=1em]（2）当已知刀具工件的螺旋槽截形，需要求解砂轮的截形，设砂轮坐标原点到接触线某点M的矢量为R，根据矢量螺旋运动公式，首先得到螺旋面的表达式并求得它上面任一点的法线，此时螺旋面沿自身做螺旋运动，则螺旋面上的接触条件为

1.2 砂轮几何数学模型

[size=1em]砂轮的形状和尺寸往往是由被加工工件的形状和尺寸决定，也由数控工具磨床的类型和加工条件所决定。其中，整体式硬质合金立铣刀常用标准金刚石砂轮进行开槽，特殊情况会根据需要将砂轮修整成指定的形状（成形砂轮）。标准金刚石砂轮根据形状结构可分为平行砂轮、筒形砂轮、杯形砂轮、碗形砂轮、碟形砂轮和磨边砂轮等。其中，回转面刀具磨削加工经常采用的标准砂轮有平行砂轮、碟形砂轮和碗形砂轮[17]，如图3所示，其中B为砂轮的厚度，D为平行砂轮的直径，碟形砂轮和碗形砂轮的大径以D1 表示，小径以D2 表示，碗形砂轮的砂轮厚度以w 表示。对于任意砂轮可按照砂轮轴线为Zg，砂轮圆弧半径方向为Rg，砂轮前端面圆心O'为原点，建立砂轮截面坐标系ZgO'Rg，如图4所示，设砂轮厚度B方向的参变量为t，则砂轮轴向截形的砂轮半径为f(t)，t∈[0,B]。

[size=0.8em]图3 常用标准砂轮
Fig. 3 Common standard grinding wheels

[size=0.8em]图4 砂轮的截面模型图
Fig. 4 Cross-sectional diagram of the grinding wheel

[size=1em]平行砂轮和碟形砂轮两种典型标准砂轮的截面几何模型如图5所示，砂轮截面轮廓可分段表示。设砂轮截面轮廓上任一点Q 到坐标Zg 轴之间的距离即为砂轮厚度B 方向参变量t 值，砂轮外形半径为Rs，即可定义平行砂轮和碟形砂轮截面轮廓的数学模型。

[size=0.8em]图5 典型标准砂轮模型图
Fig. 5 Typical standard grinding wheel model diagrams

[size=1em]如图5所示，当砂轮圆弧角分别为圆心在C1半径为r1、圆心在C2 半径为r2、砂轮轮廓夹角为α 时，碟形砂轮轮廓表达式如式（3）所示。

[size=1em]平行砂轮的特征轮廓从数学模型上看是碟形砂轮的特征轮廓的特殊情况，令α=90°可由碟形砂轮轮廓求得平行砂轮轮廓。如图5b所示，平行砂轮轮廓表达式为

[size=1em]特例，对于平行砂轮其圆弧角均为零，即r1=0、r2=0 时，f(t) 恒等于砂轮外形半径Rs，此时平行砂轮轮廓表达式如式（5）所示。

1.3 接触条件方程

[size=1em]在计算得到砂轮的轴向截形以后，依据砂轮磨削螺旋槽的啮合原理，可以建立此砂轮磨削立铣刀工件时的空间接触线方程。如图2所示，在砂轮坐标系G(O'XYZ)中砂轮回转面的参数方程为

[size=1em]式中：φG为参变量，表示在砂轮某一厚度t 对应的平面内 X轴绕砂轮轴线旋转过的角度。

[size=1em]将砂轮坐标系G(O'XYZ) 转换到铣刀坐标系T(Oxyz)时的空间坐标转换关系为

[size=1em]由式（7）得到砂轮回转面在工件坐标系下的坐标，则回转面上任意一点的法线矢量的3 个分量如式（8）所示，其中，f′(t) 为f(t)的一阶导数。

[size=1em]由式（1）可知，刀具回转面上的接触线条件式为(k×r+pk)·n=0，为了便于接触线方程的求解，现在把上式化成坐标表示的形式，从图2 可知，矢量r 可由式（9）表示。

[size=1em]式中：i′=-i；j′=-jcos Σ-ksin Σ；k′=-jsin Σ+kcos Σ。

[size=1em]所以有k×r=(de+f(t)sin φG cos Σ+tsin Σ)i+(daf(t)cos φG)j，因此，砂轮回转面与立铣刀螺旋面的接触条件式为

2 多区间二分法实现接触线方程的数值解法

[size=1em]二分法（bisection method）是一种寻找实数解的方法，是一种近似求解的方法，其原理是通过不断将有根区间对半分割来逼近方程的根。过程如图6所示。

[size=0.8em]图6 二分法区间逼近过程
Fig. 6 Process of interval approximation using the bisection method

[size=1em]如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a) 和f(b)异号（f(a)f(b)＜0），则在[a,b]内存在一实根。

[size=1em]首先取区间[a,b]的中点x0=(a+b)/2，并计算中点函数值f(x0)。

[size=1em]若f(x0)=0，则 x0 是f(x)=0的实根；若f(a)f(b)＜0，则根必在区间[a,x0]内，取a1=a ，b1=x0，即新的有根区间为[a1,b1]；若f(a)f(b)＞0，则根必在区间[x0,b]内，取a1=x0 ，b1=b，即新的有根区间为[a1,b1]。

[size=1em]这样，得到新的有根区间为[a1,b1]，其长度为[a,b]的一半，达到了压缩有根区间的目的，然后更新区间并重复该过程，则可得到一系列有根区间，[a,b]⊃[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃···⊃[an,bn]⊃···。显然，[an,bn]的区间长度为

[size=1em]若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限进行下去。当n →∞时，区间必将最终收缩为一点 x*，显然 x*就是所求的根。

[size=1em]若取区间[an,bn]的中点xn=(bn+an)/2作为 x*的近似值，则其误差估计式为

[size=1em]式中：x*,xn ∈(an+1,bn+1)。

[size=1em]随着迭代次数n 增加，误差趋于零。

[size=1em]对于二分法要达到指定精度计算，则对于给定的小数ε ＞0，要使

[size=1em]只需令

[size=1em]即

[size=1em]所以

[size=1em]利用式（11）可以预先确定出达到指定精度的二分次数。二分法的求解执行流程如图7所示。

[size=0.8em]图7 二分法的求解执行流程
Fig. 7 Procedure for solving using the bisection method

[size=1em]由于接触线方程为非线性方程，求解过于复杂，计算量大，单纯使用二分法经常面临数值计算的不稳定性问题。因此本文提出了一种改进的二分法求非线性方程根的方法，称为多区间二分法。多区间二分法则是对传统二分法的扩展，用于在多个区间内同时寻找函数的多个根，方法就是把这个区间等分为若干个相等的小区间，然后分别判断这些小区间两端函数值的符号，对所有两端异号的区间使用二分法即可，显然，小区间的个数越多，越有可能找到所有的根。所以，多区间二分法，可以求出连续函数在某区间内几乎全部的根，求解流程如图8所示。

[size=0.8em]图8 多区间二分法求解流程
Fig. 8 Solving process of multi-interval bisection method

3 仿真与实验验证3.1 解值分布情况分析

[size=1em]为全面验证所提方法与模型的普适性，本研究选择3 组不同参数的刀具为实例验证，其立铣刀各技术参数见表1。

[size=0.8em]表1 立铣刀技术参数
Tab. 1 Technical parameters of the end mill

[size=1em]以表2所示的安装参数，反求加工用成形砂轮求解接触线方程的计算过程查看解值分布情况为例。

[size=0.8em]表2 成形砂轮安装参数
Tab. 2 Form grinding wheel installation parameters

[size=1em]砂轮磨削加工立铣刀螺旋面时，离散砂轮厚度B，将ti（i=1,2,3,···,∞）代入式（10），即可得到工件坐标系下螺旋面各个离散点对应接触线方程的解的分布情况。每个离散点取值区间θ ∈[-π,π]，各接触线方程的解的分布情况如图9所示，从图中可以看出，在给定的角度范围内，不同参数刀具的离散点的接触线方程均有2～3 个解，即接触线方程存在奇异解，需要对解进行分析后再输出。

[size=0.8em]图9 接触线方程解的分布情况
Fig. 9 Distribution of solutions to the contact line equation

[size=1em]实验采用相同的多区间二分法求解3 种刀具的接触线方程，均成功获得了全部解且保持了良好的解连续性，证明了方法的参数普适性。

3.2 多区间二分法的计算效率

[size=1em]为验证多区间二分法在计算效率与收敛性上的优势，本文将其与传统单一区间二分法及牛顿迭代法进行对比。在相同计算环境（Intel i7-10750H，16GB RAM，Matlab R2021a）下，针对所述实例中刀具1 的接触线方程进行求解，记录3 种方法达到同一精度要求（ε=1×10-6）所需的平均迭代次数和计算时间，结果见表3。

[size=0.8em]表3 不同数值方法效率对比
Tab. 3 Efficiency comparison of different numerical methods

[size=1em]对比牛顿迭代法和单一区间二分法都存在易漏根现象，多区间二分法在保证找到全部根的同时，仍具有良好的计算效率，特别适用于实际工程中复杂接触线的求解。

3.3 接触线方程解的选择

[size=1em]实例仿形加工表1所示的刀具1，即直径为3 mm 的整体式立铣刀螺旋槽，以表2所示的安装参数反求加工用成形砂轮中，展示接触线方程多区间二分法选择解的过程。

[size=1em]由于砂轮在开槽加工时，在两个表面之间只存在一条相切的接触线，且接触线位置在空间是固定不变的。因此，为保证接触线是一条连续的空间曲线，则接触线方程相邻离散点的解应该是相邻的且接近的，即相邻解值分析。即求解接触线方程对每个离散点的解按进行相邻解值开始分析，选择适合解输出。首先选择第一个离散点的某个解作为基准解值，然后对后面的离散点进行选解，即找出第二个离散点的所有解中与第一个离散点的解差值最小的解，依次找出第i+1 个离散点的所有解中与第i 个离散点的解的差值最小的，最后将这样一组解连贯输出。

[size=1em]对实例成形砂轮磨削铣刀螺旋槽部分离散点的接触线方程的求解情况如图10所示，存在2～3 个解，所以选择黑实线标识的这些相邻解连贯输出后可得到接触线方程的数值解。

[size=0.8em]图10 接触线方程解的选择
Fig. 10 Selection of solutions to the contact line equation

[size=1em]为进行严格实验验证，本研究进一步对实例加工立铣刀的实际磨削加工轮廓进行了三坐标测量机（coordinate measuring machine, CMM）检测，并与区间二分法接触线理论计算的螺旋槽轮廓值进行对比，结果见表4。定义误差指标：平均绝对误差（mean absolute error, MAE）、均方根误差（root mean square error, RMSE）和最大绝对误差（maximum absolute error, MaxAE）。

[size=0.8em]表4 理论计算值与实际测量值误差分析
Tab. 4 Error analysis between theoretical calculations and actual measurementsmm

[size=1em]分析结果表明，本文提出的接触线模型及数值解法在不同刀具参数下均保持了较高的计算精度，最大绝对误差小于0.05 mm，满足实际工程应用的精度要求。

4 结语

[size=1em]本文建立了圆柱立铣刀螺旋槽磨削的通用接触线方程，并开发了一种高效、稳定的数值求解算法，主要研究成果如下：

[size=1em]（1）综合考量刀具几何参数、砂轮廓形及磨削运动学关系，建立了具有高度普适性的接触线数学模型，能够精确描述砂轮-工件间的磨削接触几何关系。

[size=1em]（2）针对接触线方程存在多解及传统数值方法易漏根、效率低的问题，提出多区间二分法。仿真与对比实验表明，该方法在保证获得全部解的前提下，其计算效率与仅寻找单解的传统二分法相当，尤其适用于工程中常见的非光滑、多极值接触线方程的可靠求解。

[size=1em]（3）通过多组不同规格刀具（直径3、6、8 mm）的实例验证了模型与算法的通用性。经实际加工与三坐标检测对比，理论计算轮廓与实测数据间的平均误差小于0.02 mm，最大误差不超过0.05 mm，满足精密刀具制造的工程精度要求。

[size=1em]本研究系统解决了复杂螺旋槽磨削接触线的通用建模与高效数值求解问题，所提出的方法可为高精度刀具的数控磨削工艺优化与软件开发提供理论依据和关键技术支撑。

[size=1em]参 考 文 献

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[size=1.8em]Modeling of contact line and efficient numerical solution for helical groove grinding of cylindrical end mills

[size=1em]YOU Minglin, LIU Fuyi, ZHANG Ji
(School of Mechanical and Electrical Engineering, Guizhou Normal University, Guiyang 550014, CHN)

[size=1em]Abstract：Precision grinding of the helical flutes of cylindrical end mills is a key process in their manufacturing.Accurately establishing the grinding contact line model is of great significance for improving tool quality and efficiency. Aiming at the limitations of existing models in generality and numerical solving efficiency, a universal mathematical model for the contact line that comprehensively considers tool geometric parameters, wheel profile, and kinematic relationships. An efficient numerical solving strategy based on a multi-interval bisection method is proposed, which stably obtains all solutions of the contact line equation and effectively avoids missing roots and singular solutions. Validation with multiple tool specifications shows that the model accurately characterizes the grinding contact relationship, and the numerical algorithm outperforms traditional methods in both computational efficiency and accuracy, providing a reliable theoretical foundation and technical support for highprecision CNC tool grinding.

[size=1em]Keywords：cylindrical end mill; helical groove grinding; contact line modeling; efficient numerical solution;geometric analysis

[size=1em]中图分类号：TH128，TP391.7

[size=1em]文献标识码：A

[size=1em]DOI：10.19287/j.mtmt.1005-2402.2026.01.017

[size=1em]*贵州省科技厅基金项目“整体立铣刀设计与制造过程形性协同的数字孪生技术”（黔科合基础[2020] 1Y231）

[size=1em]第一作者/通信作者：游明琳，男，1979年生，副教授，研究方向为复杂曲面加工。E-mail：youminglin@sohu.com